Кинематика абсолютно твердого тела
Абсолютно твердым телом называют тело при движении которого расстояние между двумя фиксированными точками не меняется. Твердое тело может совершать движения двух типов — поступательное и вращательное.
При поступательном движении любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной своему первоначальному направлению, а траектории двух любых, связанных с телом, точек совершенно идентичны (их можно полностью совместить параллельным переносом). Примером поступательного движения относительно земли может быть кабина лифта, пассажирские кабины «колеса обозрения», стрелка компаса при произвольном перемещении его корпуса в горизонтальном направлении и т.д.
При поступательном движении приращение радиус-векторов всех точек твердого тела одинаковое, а значит одинаковы их скорости и ускорения. Следовательно поступательное движение твердого тела описывается кинематическими уравнениями любой из его точек.
Если при вращении твердого тела две его точки A и B остаются неподвижными, то любая точка C, лежащая на прямой AB также будет неподвижной. Если бы точка C перемещалась, то длина отрезков AC и BC изменялись, что противоречит определению абсолютно твердого тела. Прямую, проходящую через отрезок AB называют осью вращения, а движение твердого тела называют вращением тела вокруг неподвижной оси.
Рис. 1 Абсолютно твердое тело
Рассмотрим произвольную точку тела M не лежащую на оси вращения AB (рисунок 1). Поскольку длины отрезков MA, MB и MN, где N точка пересечения перпендикуляра опущенного из точки M на ось AB, во время движения остаются постоянными, то все точки вращающегося тела описывают окружность радиусом ρ, равного расстоянию от точки до оси вращения, в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Примером вращения вокруг неподвижной оси могут служить ротор электродвигателя или турбины.
Если абсолютно твердое тело закреплено в одной точке, то его движение называют вращением тела вокруг неподвижной точки, а саму точку называют центром вращения. При таком движении можно определить мгновенную ось вращения как ось, проходящую через центр вращения и перпендикулярную плоскости движения. Положение мгновенной оси относительно неподвижной системы отсчета и самого тела может изменятся со временем.
В отличии от поступательного движения, при вращательном движении скорости точек v, расположенные на различном расстоянии от оси вращения, будут различными. Поэтому при вращательном движении скорость v отдельной точки не может служить кинематической характеристикой движения всего тела.
Рис. 2 Вращение абсолютно твердого тела
Рассмотрим вращательное движение тела относительно центра вращения O с мгновенной осью вращения OO1, причем точка O1 соответствует центру дуги окружности по которой движется точки M (рисунок 2). Радиус-вектор точки M относительно центра вращения O обозначим через r, радиус-вектор точки M относительно O1 обозначим через ρ, а вектор, направленный из точки O в точку O1 обозначим через a. Эти вектора связаны соотношением
r = a + ρ.
За малый промежуток времени dt вектор ρ повернется в плоскости, перпендикулярной оси OO1 на угол dφ. Радиус-вектор любой точки твердого тела (кроме точек на оси, поскольку их радиус-вектора равны нулю) за время dt также повернется на угол dφ, в противном случае это привело бы и изменению расстояния между точками, что противоречит определению абсолютно твердого тела. Получается, что угол поворота dφ характеризует вращательное движение всего тела. Введем вектор элементарного поворота тела (малого поворота тела) dφ, численно равного углу поворота dφ и направленного вдоль оси OO1. Направление этого вектора совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается вместе с телом, то есть подчиняется правилу буравчика}.
Последовательность двух элементарных поворотов dφ1 и dφ2, подчиняется правилу сложения векторов, то есть сумарный элементарный поворот эквивалентен одному повороту
dφ = dφ1 + dφ2.
Скорость изменения угла поворота φ называют угловой скоростью ω и по определению скорости как отношение малого приращения угла за малое время dt имеем:
Вектор угловой скорости ω характеризует величину и направление изменения угла поворота. Если вектор угловой скорости постоянен ω=const, то движение называют равномерным вращением вокруг неподвижной оси.
Скорость v движения произвольной точки M называют линейной скоростью. При вращении тела с угловой скоростью ω за время dt точка M проходит по дуге окружности радиуса ρ путь равный ds. Линейная скорость равна
Из рисунка 2 видно, что вектор линейной скорости перпендикулярен векторам ω и ρ, а его направление совпадает с их векторным произведением [ω, ρ]. Кроме того, вектора ω и ρ взаимно перпендикулярны, следовательно [ω, ρ]=ρω=v. Следовательно,
v = [ω, ρ].
Умножим выражение
r = a + ρ.
слева векторно на ω. Поскольку вектор a коллинеарен ω и их векторное произведение равно нулю, получим
v = [ω, r].
Мы рассмотрели наиболее общий случай вращения тела относительно неподвижной точки — центра вращения O. В частном случае, когда тело вращается относительно неподвижной оси, в качестве точки O можно выбрать любую точку, расположенную на оси вращения.
Для характеристики равномерного вращательного движения используют ряд понятий.
Эти величины связаны между собой следующим образом:
Если тело вращается неравномерно, то вводится характеристика быстроты изменения угловой скорости — угловое ускорение ε:
В случае вращения тела вокруг неподвижной оси, направление вектора углового ускорения не меняется, а меняется только его величина. Вектор углового ускорения ε направлен вдоль оси вращения, в направлении вектора угловой скорости, если его величина положительна (ускоренное вращение) и в направлении противоположном вектора угловой скорости, если его величина отрицательна (замедленное вращение).
Выразим тангенциальное и нормальное ускорение произвольной точки M тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, через угловые характеристики:
Для векторных величин, справедливы следующие соотношения:
Рассмотрим некоторые частные случаи вращения твердого тела:
ε =0, ω = const, φ = ω t.
Поступательное и вращательное движение твердого тела являются простейшими типами движения. В общем случае твердое тело может совершать сложное произвольное движение. В курсе теоретической механике доказывается, что любое сложное движение твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного и вращательного движений.
Использованная литература
