Метод Рунге-Кутта. Часть 1

В данной статье рассмотрим эффективность метода Эйлера, модифицированного метода Эйлера и метода Рунге-Кутта 4-го порядка в случае одного обыкновенного дифференциального уравнения:

Решим уравнение 1 численно методом Эйлера. Суть метода заключается в том, что производная заменяется конечной разностью:

Отсюда значение функции y в следyющий момент времени:

Модифицированный метод Эйлера использует двушаговую поправку к функции:

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка вычисляет значение в следующий момент времени по формуле:

Теперь мы можем сравнить результаты всех трех методов с точным решением уравнения 1. Задаем начальное условие y₀ = 0 и шаг τ = 0.1. Результат показан в таблице (в скобках указана относительная погрешность).

Шаг  t   Эйлер               Модиф. Эйлер         Рунге-Кутта
 1  0.1  0.10000000 ( 0.3%)  0.10050000 ( 0.16%)  0.10033459 (0.000083%)
 2  0.2  0.20100000 ( 0.8%)  0.20303533 ( 0.16%)  0.20270988 (0.000078%)
 3  0.3  0.30504010 ( 1.4%)  0.30981379 ( 0.15%)  0.30933604 (0.000068%)
 4  0.4  0.41434505 ( 2.0%)  0.42340835 ( 0.15%)  0.42279299 (0.000053%)
 5  0.5  0.53151323 ( 2.7%)  0.54702430 ( 0.13%)  0.54630231 (0.000033%)
 6  0.6  0.65976386 ( 3.6%)  0.68489900 ( 0.11%)  0.68413676 (0.000008%)
 7  0.7  0.80329269 ( 4.6%)  0.84294853 ( 0.08%)  0.84228857 (0.000022%)
 8  0.8  0.96782061 ( 6.0%)  1.02988692 ( 0.02%)  1.02963906 (0.000049%)
 9  0.9  1.16148828 ( 7.8%)  1.25929935 ( 0.07%)  1.26015878 (0.000045%)
10  1.0  1.39639379 (10.3%)  1.55378951 ( 0.23%)  1.55740644 (0.000082%)

Так, что если вам нужно выбирать, каким методом решить обыкновенное дифференциальное уравнение - выбор очевиден.

Обсудить статью на форуме