В.И.Арнольд. Математический тривиум II

Призыв сделать экзамены по математике письменными из «Математического тривиума» вызвал многочисленные отклики с критикой и устных, и письменных экзаменов как из России, так и из других стран Европы и Америки. Авторы многих писем из России считают, что в среднем преподаватели умеют решать треть задач тривиума. На этом основании они полагают, что задачи тривиума слишком трудны. Вероятно, это следует сопоставить с тем фактом, что в СССР около 40% заведующих математическими кафедрами не имели математического образования. Вероятно, положение будет ухудшаться и далее.

В нескольких ВУЗах были испробованы письменные экзамены по различным математическим предметам, так что можно подвести некоторые итоги. Большинство участвовавших преподавателей считает, что принимать письменные экзамены легче, чем устные. Как это ни удивительно, списывание менее опасно, чем можно было бы ожидать, так как оно легко обнаруживается (списываются в основном неверные решения). Увеличение числа неудовлетворительных оценок (за счёт выявления студентов, которые ничему не научились) вряд ли следует считать недостатком письменного экзамена.

Наиболее частые нарекания вызывает подбор задач экзамена. Здесь иногда случаются странные вещи (выявление которых, впрочем, тоже полезно: личность составителя и местные традиции ярко проявляются в характере и самих формулировках задач).

Например, в официальном общеамериканском письменном экзамене (название которого состоит из трёх букв, которые я забыл) в 1992 г. имелась такая задача-тест:

«Что более всего похоже на соотношение между углом и градусом из нижеперечисленного:

1) время и минута,
2) молоко и кварта,
3) площадь и квадратный дюйм, ... (ещё 3 пары).»

«Правильный» ответ — площадь и квадратный дюйм. Мотивировка: градус есть наименьшая единица измерения углов, квадратный дюйм — площадей, а, например, минута делится ещё и на секунды.

Для нас, конечно, этот ответ звучит дико. Но американские учёные, которых я тестировал, почти всегда дают именно этот «правильный» ответ. Я долго не мог понять, в чём тут дело, пока один известный американский физик не объяснил мне свой — правильный — ответ так: «Дело в том, что я правильно представляю себе степень идиотизма составителей этих задач».

Надеюсь, что сегодня такие задачи нашим экзаменуемым ещё не угрожают. Но наблюдающиеся попытки «американизации» обучения (начиная с начальной и средней школы) могут со временем к этому привести. Конечно, я против такой американизации и не призывал к ней в [1].

Европейские традиции математических экзаменов, разные в разных странах, тоже поучительны. В некоторых случаях университетские экзамены вырождаются в изощрённую систему казуистики, подобную применяемой (или применявшейся?) у нас на вступительных экзаменах и зафиксированной в печально известных сборниках задач (начиная с Новоселова и др.) для поступающих в ВУЗы.

Литлвуд в «Математической смеси» указывает, что до некоторого момента именно таковы были и университетские экзамены в Англии. Мне кажется, некоторые из приведённых ниже образцов европейских экзаменационных задач также способны вызвать сочуствие к несчастным студентам, вынужденным проходить через подобные математические пытки. «Что отличает эти схоластические культуры — это то, что они отводят ум от всего утончённого, окружая почётом лишь те ребяческие ухищрения, на которые потрачена вся жизнь и на которые смотрят как на естественное занятие людей профессионально степенных» (Ренан).

Опасность скатиться к «ребяческим ухищрениям» есть и у нас, и я призываю составителей экзаменационных задач делать их содержательными, лёгкими, красивыми, поучительными и интересными.

Для меня явилось неожиданностью обилие в экзаменационных упражнениях европейских университетов вопросов, ответы на которые можно прямо списать из учебника. Вероятно, они допустимы, когда экзамен проводится под надзором полиции (как во Франции), но не в наших условиях. Интересно также, что в английской системе оценка работы студента не только растёт с улучшением её качества, но и падает с улучшением качества работ его товарищей-соперников. Возможно, этот соревновательный характер экзамена и препятствует списыванию, но видеть его у нас почему-то не хочется.

Письменный экзамен по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений на механико-математическом факультете МГУ впервые проводился весной 1991 г. На приведённые ниже задачи было отведено два часа. Проверка (10-15 работ на преподавателя) заняла час, после чего результаты объявлялись студентам. Ещё час студенты смотрели свои работы и анализировали ошибки (с помощью преподавателей). Эта часть экзамена была добровольной, но почти все студенты захотели обсудить свои работы с преподавателями.

Критерии оценок уточнялись после упорядочения работ, но в общем оказывались примерно такими: удовлетворительно — более одной верно решённой задачи, хорошо — более двух, отлично — более трёх.

Когда через несколько дней такой же экзамен проводился в другой группе, все задачи полностью заменялись. Чтобы была видна степень сходства вариантов одного дня и степень различия заданий последующих дней, ниже приведены варианты всех дней. Они составлены с учётом того, что студенты, экзаменующиеся позже, знали задачи предыдущих дней (что само по себе для студентов неплохо, но требует дополнительных усилий от составителя). Составлять задачи было бы легче, если бы весь курс (поток) сдавал экзамен одновременно, но это по техническим причинам не удалось организовать.